26-летний Баррон набрал 15 очков (8 голов, 7 передач) и 16 минут штрафа в 74 матчах регулярного сезона за «Джетс» в прошлом сезоне. В 13 играх плей-офф за «Виннипег» он добавил 2 передачи и 2 минуты штрафа.
Баррон был выбран в 6-м раунде под 174-м номером на драфте НХЛ 2017 года клубом «Нью-Йорк Рейнджерс». За свою карьеру в НХЛ он сыграл 256 матчей за «Джетс» и «Рейнджерс», набрав 60 очков (30 голов, 30 передач) и 80 минут штрафа. Кроме того, он провёл 18 матчей в плей-офф за «Виннипег», записав на свой счёт 2 передачи и 4 минуты штрафа.
